Любое творческое начало в деятельности человека в любой сфере его деятельности должно начинаться с определения целей исследования и способов их достижения. Чем яснее и чётче исследователь ведёт себя на этом этапе, тем качественнее получаемые результаты и меньше вероятность получения неточных, а зачастую ошибочных результатов. Цель исследования и способ её достижения формулируется в постановке задачи исследования. Очевидно, что одномоментно сформулировать постановку задачи невозможно. Вначале постановка задачи формулируется в простейшем варианте, далее происходит уточнение различных факторов, определяющих решение задачи, анализ имеющихся статистических данных, принятие допущений и т.п. Однако даже формулировка задачи в простейшей вербальной форме требует от исследователя мобилизации всех

знаний, используемых в дальнейшем для решения поставленной задачи. Словесная (вербальная) постановка задачи может звучать так: «… необходимо разработать техническую систему для реализации технологического регламента (системы технологических процессов) так, чтобы обеспечивались заданная производительность, качество производимой продукции, удобство эксплуатации, безопасность для окружающей среды и обслуживающего персонала, минимальные капитальные, эксплуатационные расходы и себестоимость получаемой продукции. При этом процесс исследования, проектирования, монтажа и выхода на проектную мощность не должен превышать заданных сроков».

Так может формулироваться постановка задачи на её начальной стадии. Далее требуется уточнять, что представляет собой технологический процесс, который будет реализован в технической системе, насколько он отвечает тем знаниям в конкретной предметной области, на основании которых можно будет получить желаемые результаты, какие будут приняты допущения, в каком виде будут представлены конструктивные и режимные характеристики технической системы, обеспечивающие наилучшее протекание технологического процесса, в каких интервалах будет осуществляться поиск конструктивных и режимных характеристик технической системы, как будут оцениваться капитальные и эксплуатационные затраты, какие методы будут применяться при решении поставленной задачи и т.п. Так, например, варьируемые (искомые) величины хi обосновываются при постановке задачи. Из условий физической реализуемости они ограничиваются минимальными и максимальными значениями: x min ≤ xi ≤ xi max . Границы интервала задаются исследователем. Чем уже интервал [x min , x max ] , тем проще найти оптимальное значение опт xi . Однако при уменьшении интервала может возникнуть следующая ситуация, когда max опт xi > xi или min опт xi < xi т.е. опт xi будет находиться вне заданного исследователем интервала. В этом случае истинное значение опт xi не будет найдено, а вместо него будет получена одна из границ интервала. Из приведённого выше примера ясно, насколько важна роль исследователя при задании границ применения искомых параметров. Если рассматривать решение задачи проектирования «с конца», то завершающей стадией получения проектных решений будут средства вычислительной техники – компьютер. Представить информацию для компьютера можно только в строгой математической формулировке, т.е. задача должна быть формализована. Это формализованное математическое представление решаемой задачи и будет завершающим этапом постановки задачи, когда процесс сбора, анализа и представления информации завершён и можно начинать собственно вычислительные операции. Этапу окончательной постановки задачи предшествует этап разработки математической модели объекта исследования, когда в соответствии с постановкой задачи осуществляется формализация процессов, протекающих в объекте с требуемой для практического использования точностью. Последнее предопределяет адекватность математической модели исследуемому объекту в области её использования (определения) в соответствии с постановкой задачи. Отсюда следует важный вывод – применение компьютера до окончательной постановки задачи в формализованном виде не требуется. Исключением является этап реализации метода решения уравнений математической модели и проверки её адекватности. До окончательной постановки задачи действия исследователя должны быть сосредоточены на анализе постановки задачи исследования, обосновании искомых параметров объекта, допущениях, которые принимает исследователь, изучении процессов, протекающих в объекте, выбора метода их описания и на основании этого разработке адекватной модели объекта. На этих этапах исследователь должен максимально мобилизовать свои мыслительные способности и отдавать себе отчёт в том, что компьютер позволяет только ускорить процесс принятия решения по той программе, которую заложит в него исследователь. Ещё один вывод, который можно сделать, заключается в том, что постановка задачи однозначно определяет структуру математической модели и область её определения. Другими словами, постановка задачи является техническим заданием на разработку математической модели объекта. Иногда на этом этапе исследователю требуются дополнительные экспериментальные данные, дополнительные исследования, статистическая информация, которые на начальном этапе постановки задачи были неочевидны. Следует отметить, что большинство статистических данных есть не что иное, как результаты эксперимента на реальном, физически существующем объекте при определённых условиях проведения эксперимента. Процесс постановки задачи исследования завершается тогда, когда можно в окончательном варианте осуществить запись решаемой задачи в формализованном виде, т.е. в форме математических выражений. Таким образом, постановка задачи исследования сводится к процедуре последовательного уточнения формулировки задачи до тех пор, пока задачу можно будет решать. Можно сделать вывод о целесообразности осуществлять постановку задачи в терминах теории оптимального управления, т.е. в терминах экстремальных задач. В этом случае научно- исследовательская задача в любой предметной области может быть сведена к следующей постановке:

Необходимо найти такие варьируемые параметры, чтобы критерий оптимальности (зависящий от этих параметров) достигал своего экстремума (максимума или минимума) при ограничениях в форме равенств и неравенств. Под выражением «равенства и неравенства» будем понимать совокупность уравнений (алгебраических, дифференциальных с обыкновенными или частными производными, интегральных, логических условий и т.п.), описывающих объект исследования при принятых исследователем допущениях, а также неравенств, ограничивающих интервально, как варьируемые переменные, так и ряд переменных, входящих в уравнения. Совокупность (система) уравнений и неравенств позволяет получить математическую модель объекта исследования и область её определения, т.е. границы использования модели, в которых математическая модель описывает исследуемый объект с достаточной для практики точностью. Наличие математической модели объекта позволяет осуществлять имитацию различных условий функционирования объекта, используя математические методы решения уравнений модели и средства современной вычислительной техники.

При исследовании и проектировании технических систем уравнения математических моделей, как правило, носят нелинейный характер, имеют высокую размерность, т.е. получение аналитического решения возможно только в простейших случаях. Чаще всего для решения уравнений математической модели используют различные модификации численных методов (методы Эйлера, Кунге-Кутта, разностные схемы). Часто математическая модель в окончательной постановке задачи используется только для имитационного моделирования, задача оптимизации при этом не решается. Суть имитационного моделирования заключается в исследовании различных характеристик процессов, протекающих в объекте, с целью выявления новых или уточнения ряда известных характеристик, не нашедших до настоящего времени отражения в конкретной предметной области. Применение методов математического моделирования исследуемых объектов позволяет существенно сократить время,

за которое могут быть получены результаты математического моделирования по сравнению с физическим, так как процессы анализа ведутся в другом временном масштабе. И масштаб этот определяется быстродействием средств вычислительной техники. Кроме того математическое моделирование не требует экономических затрат на проведение эксперементальных исследований на реально существующем объекте. Естественно, что такие рассуждения будут правомерны при условии, что математическая модель адекватна исследуемому объекту в рамках условий физической реализуемости (области применения математической модели), для конкретно поставленной задачи.

Следует также отметить, что применение математических методов и, в частности, метода математического моделирования требуют от исследователя большого объёма знаний как о процессах, протекающих в объекте исследования, так и о собственно математических и инструментальных методах. Таким образом, в границах области определения, используя математическую модель исследуемого объекта, можно осуществлять имитацию реальных процессов, протекающих в объекте, задавая при этом различные сочетания искомых величин. Упорядочивание имитационных процессов осуществляется с помощью теории оптимального управления, когда ставится цель получения самого лучшего, оптимального решения поставленной задачи. Суть применения оптимального управления заключается в следующем: с помощью математической модели исследователь вычисляет значение критерия оптимальности в некоторой заранее заданной им точке пространства искомых величин, определяется направление движения к экстремуму критерия и в этом направлении делается рабочий шаг, вычисляется новое значение критерия оптимальности, и процедура повторяется до достижения экстремального значения критерия. Таким образом, выполняется принцип оптимальности Беллмана: независимо от того, как Вы попали в данную точку пространства (искомых, исследуемых величин), дальнейшее движение должно осуществляться по оптимальной траектории. Учитывая сказанное выше, структура исследований с применением математических методов, может быть представлена блок-схемой, рис. 2. Постановка задачи исследования является определяющим этапом в исследовании и, в частности, применении математических и инструментальных методов в исследованиях технического характера.

Рисунок 2 - Структура исследований с применением математических методов

1

В статье рассмотрено применение экономико-математических методов в экономических расчетах при решении многовариантных заданий, для расширения возможностей анализа сложных проблем социально-экономического развития. Для облегчения действий в расчетах при решении экономических задач применяют ЭВМ, которая значительно облегчает вычисление. Авторы указывают на то, что для решения задач в конъюктурно-экономической работе применяются многоцелевые экономические методы. При этом применение способа факторного, взаимосвязанного и регрессивного анализа и автоматизированных расчётов стоимости на машинно-техническую продукцию и при исследовании мониторингов является особо важным моментом при решении экономических задач. Применение современных экономико-математических методов и электронно-вычислительной техники решает задачи производства и потребления, например, нефтепродуктов каждого НПЗ. При разработке проектов и плановых решений вместо применения современных методов, и их обоснований в действующих предприятиях чаще всего применяются традиционные экономико-математические методы. Однако они уже недостаточны для обеспечения эффективного и сбалансированного развития деятельности предприятия. Наряду с традиционными экономико-математическими методами планирования применяются современные методы, такие как, например, методы математической статистики, математического программирования, образовывая экономико-математическую модель исследования.

экономико-математические методы

экономические процессы

математический анализ

методы математической статистики

итерация.

1. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Мелешко С.В. Математические методы исследования экономических процессов // Международный журнал экспериментального образования. – 2016. – № 12–1. – С. 116–117.

2. Гулай Т.А., Литвин Д.Б., Попова С.В., Мелешко С.В. Прогнозирование в регрессионном анализе при построении статистических моделей экономических задач с помощью программы MICROSOFT EXCEL // Экономика и предпринимательство. – 2017. – № 8–2 (85–2). – С. 688–692.

3. Жиляков Е.Г., Перлов Ю.М. Основы эконометрического анализа данных: Учебное пособие, 2014.

4. Манько А.И., Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Мелешко С.В. Математические методы в экономических исследованиях: Рабочая тетрадь – Ставрополь, 2015.

5. Орлова, И.В. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие / И.В. Орлова. – М.: Вузовский учебник, НИЦ ИНФРА – М, 2013. – 389 c.

6. Попов А.М., Сотников В.Н. Экономико-математические методы и модели.: Юрайт-Издат, 2015. – 479 с.

7. Федосеев В.В. Экономико-математические методы – М.: Финстатинформ, 2015. – 254 с.

Математические методы в последнее время используются с целью управления, планирования, бухгалтерского учёта, статистики, экономического анализа. Для решения множества экономических, инженерных заданий на практике возможно лишь применение математического программирования и моделирования, но невозможно без использования счётной техники. В решении сложных экономических задач на помощь пришло применение сконструированное, быстродействующее ЭВМ.

Экономико-математические методы - это новейшее научное течение, применяемое при решении многовариантных заданий, для расширения возможностей анализа сложных проблем социально-экономического развития, которые значительно облегчают разработку планов. ЭВМ существенно меняет технологию планирования, работая только по точно заданным схемам расчетов, алгоритмам. На основе алгоритмов разрабатываются математические модели процессов, которые являются условием внедрения кибернетики в народное хозяйство. Математический анализ экономики в сравнении с применением математики в физике или технике значительно труднее и требует аналогичного решения исследования наиболее подходящих математических методов. Для ЭВМ всегда используется метод эвристического решения. Расчётную формулу или исходные данные разделяют так, чтобы задание было из элементарных операций, которые машина в установленной последовательности будет воплощать .

Для решения задач в конъюктурно-экономической работе применяются многоцелевые экономические методы. В данном отношении показательно применение способа факторного, взаимосвязанного и регрессивного анализа и автоматизированных расчётов стоимости на машинно-техническую продукцию и при исследовании мониторингов. Структура данной операции показала трудность в раскрытии этапов процесса принятия решений. Процедура умозаключительного обоснования принятия решений предполагает собой общее единство. Трансформация содержания одного этапа согласовывается с другими стадиями и их связями между собой .

При использовании математических методов этот факт зачастую отсутствует. Результат математического метода стремятся показать как решение конкретной управленческой задачи, несмотря на то, что он является одним из этапов процесса принятия решения из двенадцати существующих. Это вызвано общим рассмотрением всех этапов решения управленческой задачи. Во избежание недостатков чётко разграничивается место и роль каждого отдельного метода.

В СССР в 1970-1990 гг. существовало достаточное количество моделей, нацеленных на разрешение оптимизационных задач надёжности с целью долгосрочного становления трудоемких электроэнергетических систем. Для решения надёжности электроэнергетических систем была достаточная степень развития вычислительной техники и в их управлении применялись упрощённые инженерные методики. Данная, непосредственным способом отражалась в правдивости, получаемых показателей надёжности и принимаемых на этой базе проектных выводов. В современности широко применяются персональные компьютеры, улучшающие роль математических методов в решении задач по надёжности ЭЭС в их управлении и отменяющие практическое применение инженерных методик.

В сфере бизнеса, в ситуациях неопределённости Г. Маркович сосредоточил внимание и применил математику и компьютерную технику в решении практических задач в экономике. Он вёл сотрудничество с экономистами РЭНД Корпорэйшн, а также разработал приложение методов математики к анализу фондовых рынков. Проделав масштабную работу, которая стала его диссертацией, написанная в 1950 г. Гарри Маркович стал одним из родоначальников теории финансов, которая явилась развитием в системе экономической науки, в дальнейшем ставшей практической основой финансового управления фирмой.

Сущность концепции, участвующая в приведённом установлении под именем организационных, и их единые математические модели обретают применение не только при решении производственных и финансовых вопросов, но и в биологии, социологических изучениях и иных практических областях. Главными отличительными свойствами автоматизированной системы управления считается осуществление планово-финансовых расчетов с применением экономико-математических методов, с поддержкой которых формируется единая формальная модель управления объектом.

Производится постоянная математическая подготовка альтернатив возможных решений, но принятие конечного решения остается за человеком. Конкретные функции управления имеют все шансы реализоваться в автоматическом режиме, то есть без участия человека. Это значительно упрощает составление плана материально-технического обеспечения с использованием экономико-математических методов в рамках отдельной организации. При наличии утверждённого плана производства продукции на предприятии, а также составление плана снабжения, существует норма расхода материальных ресурсов, нормативы для видов производственных запасов, сводимых к решению автономных планово-экономических задач, методом умножения, измерения, методом сортировки и т.д.

Для изменения показателей в условиях автоматизированной системы плановых расчетов с помощью экономико-математических методов ЭВМ появляется вероятность отражения разных сторон хозяйственной и социальной деятельности, шире диапазон расчётов степеней и норм применения материальных, трудовых и финансовых ресурсов. Увеличение задач планирования решенных в автоматизированном режиме усложняет методы их решения, а также увеличивает требования к объему применяемых данных и составу расчётных показателей. А те показатели, которые не используются в решении планово-экономических задач, выявляются и при возможности исключаются из плановой и отчетной документации.

Для того чтобы применить модели к внедрению, которые позволят выполнять расчёты без участия автора-создателя, необходимо снабжение методическими указаниями и инструкциями, которые позволяют пользователю без помощи других устанавливать ее на решение определенной задачи. При эксплуатации в первой очереди АСПР рассматривалась документация, считавшаяся обязательным условием сдачи материального снабжения. В состав этих групп входили представители отделов Госплана. Из собранного ими навыка уделялся особый интерес формированию второй очереди АСПР к технической технологичности внедряемых задач.

Автоматизируемые планово-экономические задачи относились к задачам прямой обработки данных, не требующих применения специальных математических методов решения. Экономико-математические модели, в которых используются методы матричной алгебры, линейного программирования, математической статистики и др., задача прямой обработки данных происходят на ЭВМ больших объемов информации при помощи простейших алгоритмов, а также преобразований по элементарным формулам .

Применение современных экономико-математических методов и электронно-вычислительной техники решает задачи производства и потребления нефтепродуктов каждого НПЗ. Для этого необходимо уточнение математической модели решения и разработки некоторых методологических вопросов, точная методика определения технико-экономических показателей и других задач, без которых невозможна оптимизация. При анализе выявлено, что при разработке проектов и плановых решений вместо применения современных методов, и их обоснований в действующих предприятиях чаще всего применяются традиционные методы. Традиционные методы в новых рыночных условиях уже недостаточны, для того чтобы обеспечить эффективное и сбалансированное развитие деятельности предприятия. Наряду с традиционными методами планирования применяются современные методы, так как необходимо совершенствование технологий планирования и это является важным направлением. Для научных и практических выводов основой являются экономические задачи, решаемые методами математической статистики систематической и обработанной к использованию данных. Очень важным элементом для экономического исследования является анализ и построение взаимосвязей экономических переменных, которые осложнены тем, что они не являются строгими функциональными зависимостями. В данных обстоятельствах математическая статистика дает возможность конструировать экономические модели и проводить оценку их параметров, исследовать их гипотезы о свойствах экономических показателей, их взаимосвязи, что в итоге служит базой для экономического анализа и моделирования, формируя вероятность с целью принятия аргументируемых экономических решений. На статистические исследования вероятно-случайных явлений влияет теория вероятностей .

С целью решения аналогичных задач вероятно употребление специальных компьютерных систем и финансового экономического моделирования. В ходе формирования бизнес-плана широко используются экономико-математические методы. Качество бизнес-планов усовершенствуется вследствие правильного подбора и результативного применения компьютерных программ.

Итерация - это повторное применение математической операции при решении вычислительных задач для постепенного приближения к нужному результату. Чем меньше пересчетов, тем быстрее сходится алгоритм. При рассмотрении с точки зрения необходимости и возможности применения математических методов в аналитических целях решена проблема соединения теории принятия управленческих решений с анализом хозяйственной деятельности. На случай, если при решении новейших, мало решенных проблем, математические методы способны сыграть незначительную роль, то при структурируемых проблемах анализа хозяйственной деятельности, раскрывается потенциал исследования значимости и роли абсолютно всех экономико-математических методов. Такой метод изучения в комбинации с классическими методами содержательного анализа обязан реализовать теоретическую и практическую задачу. Для того, чтобы иметь возможность получать непредвзятую картину становления общества и ускорить достоверность и подлинность выводов социально-экономических исследований к точности и правдивости в выводах естественных наук, необходимо обширнее вовлекать инновационные формальные, количественные методы в интересах изучения и моделирования социально-экономических процессов.

Те задачи, при решении которых нет противоречий, успешно решаются методами, описанными ранее. Если возникают проблемы при решении, то методы, изложенные выше недостаточны. Приходится прибегать к дополнительным подходам, с применением математической дисциплины - теории игр. Французский математик Э.Борель в 20-х годах XX века первым раскрыл круг этих вопросов при исследовании. Но огромный интерес данные работы не привлекли и принято считать появлением на свет теории игр 1944 год, когда была выпущена книга Д. фон Неймана и О. Моргенштерна, базирующаяся на ранней работе Неймана. Её развитие способствовало изучению различных военных, а также экономических задач во время второй Мировой войны и в послевоенный период. На счету теории игр к настоящему времени сделано большое количество решенных трудных и немаловажных задач. Возможно произвести подсчет результативности использования приборов, которые не применяются в качестве средств труда в технологических процессах. С целью излечения результатов примем в качестве образца счётно-решающие приборы, производящие математические операции. Сфера использования счётно-решающих устройств в технике многообразна. В одном случае современные ЭВМ могут решать задания существенно быстрее, в другом случае они могут оперативно давать числовые решения дифференциальных уравнений, которые невозможно решить иными способами .

Приборы стимулируют развитие таких сфер математики, где вероятность использования простых методов анализа ограничена. Присутствие технологических ограничений, ограничений материальных ресурсов предоставят максимальный финансовый результат. Данная постановка задач решается на ЭВМ с помощью математического программирования, образовывая экономико-математическую модель исследования.

Впервые технология DEA - Data Envelopment Analysis была предложена в 1978 году для анализа деятельности фирм. В этой технологии используются достижения в области математического программирования, теории и методов решения задач оптимизации, а также современные средства программного обеспечения. Чтобы использовать технологию DEA-Data Envelopment Analysis для подземных хранилищ газа, месторождений, насосных станций, компрессорных и других объектов нефтяной и газовой промышленности, необходима оценка и сравнительный финансово-экономический анализ для дальнейшего развития и применения в нашей стране.

Библиографическая ссылка

Богданова Д.С., Жукова В.А., Нестеренко Н.И. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=18199 (дата обращения: 17.09.2019). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Работы, посвященные исследованию методологических проблем применения математики в социологии, охватывают множество вопросов, которые, в свою очередь, требуют определенной классификации. Не претендуя на бесспорность, можно выделить следующие разделы методологических проблем задействования математических методов в социологии, следуя в основном хронологическому порядку их постановки в российской литературе.

Во-первых, роль статистических закономерностей в конкретных социологических исследованиях.

Во-вторых, возможности и перспективы использования математики в социологии.

В-третьих, методологические проблемы выборки, измерения, анализа данных и моделирования в социологии.

Последний круг вопросов связан с общей, данной выше классификацией области применения математических методов в социологии. В силу этого методологическое рассмотрение данного круга проблем уместно объединить с обсуждением специальных вопросов.

Первоначально дискуссия ученых исходила из двух точек зрения. Согласно первой точке зрения статистика - это исключительно социально-экономическая наука, использующая некоторые математические методы. В силу второй точки зрения статистика - универсальная наука, изучающая массовые случайные процессы безотносительно к их специфике.

В ходе дискуссии были поставлены новые важные проблемы. Во- первых, проблема объективности статистических закономерностей в сфере социальной жизни общества и необходимости использования общей и математической статистики при проведении конкретных социологических исследований; во-вторых, проблема специфичности действия статистических законов в обществе.

Те стороны массовых социальных явлений и процессов, которые получают и могут получить количественное выражение, становятся предметом статистики. Новый подход к этим массовым явлениям и процессам требует поиска содержательной специфики случайного и статистического в социальной действительности. Неправомерно подходить к экономическим и социальным явлениям с мерками, заимствованными из области изучения явлений природы. Статистическая совокупность, с которой работает социолог, существенно отличается от совокупности, с которой имеет дело натуралист.

В связи с применением математики в сфере социального научного знания, с вхождением в социологию многообразных математических методов перед социологами, экономистами и математиками встал вопрос об оценке возможностей и перспектив применения математики в социологических исследованиях.

Рассматривая связи и преемственность использования математических методов в социологии и других социальных науках - психологии, лингвистике, демографии, российские ученые обращают внимание на тот факт, что количественные методы выступают как необходимый этап социологического исследования, который связан с поисками новых методов, реализацией новейших достижений математики.

Трудности применения математики в социологии обусловлены сложностью социальных явлений, а также тем, что социолог постоянно имеет дело с фактами не только объективными, но и субъективными, перевод которых в количественную форму требует разработки специального математического аппарата.

Кроме того, трудности связаны с тем, что в общественных науках связь между наблюдаемым явлением и наблюдателем очень трудно свести к минимуму. С одной стороны, наблюдатель может оказывать значительное влияние на явления, привлекшие его внимание. С другой стороны, ученый-социолог не может взирать на свои объекты с холодных высот вечности и вездесущности. Иными словами, в общественных науках мы имеем дело с короткими статистическими рядами и не можем быть уверены, что значительная часть наблюдаемого нами не создана нами самими.

Наконец, эти трудности связаны с тем, что социология изучает явления, которые характеризуются и количественными, и качественными переменными. Это ставит перед социологией проблему измерения качественных величин.

Иногда ссылаясь на еще несовершенные и весьма приближенные результаты применения математических теорий, например теории игр, в социологии, некоторые ученые указывают на несоответствие математического аппарата социальной структуре. При этом они обычно интуитивно сравнивают стройность и строгость математики, применяющейся в физике и астрономии в XVIII и XIX вв., и сложность, неопределенность и неэффективность математического аппарата социологии XX в.

Если иметь в виду такое сопоставление, то действительно можно отметить, что в социологии нет законов, аналогичных законам И. Ньютона и А. Эйнштейна, для области социальных явлений нет математической теории, подобной теории классической или квантовой механики. Причина тут кроется, видимо, в несравненно большей сложности и изменчивости социальных объектов. На наш взгляд, было бы большим заблуждением думать, что когда-нибудь в отношении общества будут найдены уравнения, подобные уравнениям классической механики.

В последние годы все больший вес приобретает обсуждение методологических проблем использования новейших математических методов, выросших в рамках математической статистики, технической кибернетики, математической экономики. Представляет интерес обсуждение методологических проблем применения методов распознавания образов в конкретных социальных исследованиях.

Эти задачи перспективны, по нашему мнению, в двух основных направлениях. Во-первых, их решение позволяет получать сложные статистические критерии классификации полипараметрических объектов, которые в дальнейшем можно использовать в автоматизированных системах управления социальными системами. Во-вторых, их решение дает информативный набор признаков, описывающих ситуации, подлежащие классификации, что позволит в дальнейшем увеличить надежность классификации.

В последнее время начинают все более интенсивно обсуждаться проблемы применения математических методов в социальном исследовании как этапе и инструменте социального управления и планирования. Математическое обеспечение конкретного социологического исследования становится необходимостью на пути отыскания и реализации народно-хозяйственного оптимума.

Решение практических задач математическими методами последова­тельно осуществляется путем математической формулировки задачи (разработка математической модели), выбора метода проведения исследования полученной математической модели, анализ полученного математического результата.

Математическая формулировка задачи представляется в виде чисел, геометрических образов, функций, систем уравнений и т.п.

Математическая модель представляет собой систему математических, соотношений - формул, функций, уравнений, систем уравнений, описываю­щих те или иные стороны изучаемого объекта. Первым этапом математичес­кого моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования, задание критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих, этапов.

Важным на этом этапе! является установление границ области влияния изучаемого объекта, определяемыми областью значимого взаимодействия с внешними объектами, Учет области влияния объекта при математическом моделировании позволяет включить в эту модель все существенные факторы и рассматривать моделируемую систему как замкнутую. Последнее значительно упрощает математическое исследование.

Следующим этапом моделирования является выбор типа математической модели, определяющим направление всего исследования. Последовательно строится несколько моделей и по результатам их исследования и сравне­ния с реальностью устанавливается наилучшая из них.

На этапе выбора типа модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамич­ность или статичность, а также степень детерминированности исследуемо­го объекта.

Линейность устанавливается по характеру статической характеристи­ки исследуемого объекта. Под статической характеристикой объекта пони­мается связь между величиной внешнего воздействия на объект (величиной входного сигнала) и максимальной величиной его реакции на это воздейс­твие (максимальной амплитудой выходной характеристики).

Под выходной характеристикой объекта понимается изменение выход­ного сигнала во времени. Если статическая характеристика объекта ока­зывается линейной, то моделирование осуществляется с использованием линейных функций.

Нелинейность статической характеристики и наличие запаздывания реагировании объекта на внешнее воздействие являются признаками нели­нейности объекта. В этом случае применяется нелинейная математическая модель.

Применение линейной математической модели значительно упрощает ее дальнейший анализ, поскольку можно пользоваться принципом суперпозиции. Принцип суперпозиции утверждает, что когда на линейный объект воздействуют несколько входных сигналов, то каждый из них фильтруется объектом так, что их взаимодействие с объектом происходит независимо друг от друга. Общий выходной сигнал линейного объекта по принципу су­перпозиции образуется в результате суммирования его реакции на каждый входной сигнал.

Установление динамичности и статичности осуществляется по поведе­нию исследуемых показателей объекта во времени, для детерминированного объекта судят о статичности или динамичности по характеру выходной ха­рактеристики. Если среднее арифметическое значение выходного сигнала по разным отрезкам времени не выходит за допустимые пределы, определя­емые точностью методики измерения исследуемого показателя, то это сви­детельствует о статичности объекта. Для вероятностных объектов статич­ность устанавливается по изменчивости уровня ее относительной органи­зации. Если изменчивость этого уровня не превышает допустимые пределы, то объект статичен.

Важным является выбор отрезков времени, на которых устанавливает­ся статичность или динамичность объекта. Если объект на малых отрезках времени оказался статичным, то при увеличении этих отрезков результат не изменится. Если же статичность установлена для крупных отрезков времени, то при их уменьшении результат может измениться и статичность объекта может перейти в динамичность.

При выборе типа (класса), модели вероятностного объекта важно установление его стационарности. О стационарности или нестационарности вероятностных объектов судят по изменению во времени параметров зако­нов распределения случайных величин (средней арифметической и среднего квадратического отклонения).

Установление общих характеристик объекта позволяет выбрать мате­матический аппарат, на базе которого строится математическая модель. Так, для детерминированных объектов может использоваться аппарат ли­нейной и нелинейной алгебры, теории дифференциальных и интегральных уравнений. При описании квазидетерминированных (вероятностно-детерми­нированных) объектов может использоваться теория дифференциальных уравнений с коэффициентами подчиняющимися определенным законам.

Цель и задачи, которые ставятся при математическом моделировании, играют важную роль при выборе типа модели. Практические задачи требуют простого математического аппарата, фундаментальные - более сложного, допускают прохождение иерархии математических моделей, начиная от чисто функциональных и кончая моделями, использующими твердо установленные закономерности и структурные параметры.

Важным при выборе модели является анализ информационного массива , из которого в частности устанавливается непрерывность или дискретность объекта. Для непрерывных объектов для их моделирования используются дифференциальные уравнения, для дискретных - теории автоматов.

Результаты поискового эксперимента и априорный информационный массив позволяют установить схему взаимодействия объекта с внешней средой по соотношению входных и выходных величин. Существует четыре схемы взаимодействия:

одномерно - одномерная схема (00С) (рис. а)

На объект воздействует только один фактор, а его поведение рассматривается по одному показателю (один выходной сигнал);

одномерно-многомерная схема (ОМС) (рис. б)

На объект воздействует один фактор, а его поведение оценивается по нескольким показателям;

многомерно-одномерная схема (ШОС) (рис. в)

На объект воздействует несколько факторов, а его поведение оце­нивается по одному показателю;

многомерно-многомерная схема (ММС) (рис. г)

На объект воздействует множество факторов и его поведение оце­нивается по множеству показателей.

При 00С для статического стационарного детерминированного объекта постоянное входное воздействие связывается с постоянным выходным сиг­налом через постоянный коэффициент. Если объект нестационарный, то указанная связь описывается различными функциями у - f(x) (чаще всего описывается полиномом).

В случае МОС статический стационарный детерминированный объект описывается следующей моделью:

при равнозначности внешних воздействий

при неравнозначности внешних воздействий

,

где (- постоянный коэффициент,m - число внешних воздействий (факто-

Для статического нестационарного объекта (при той же схеме взаи­модействия) используется модель в виде полинома:

где ,- число парных и тройных сочетаний факторов.

При ОМС статический стационарный и нестационарный объект описыва­ется аналогично 00С статического стационарного объекта. При этом опре­деляются отдельно математические модели входного воздействия с каждый выходным сигналом. Выходные сигналы считаются независимыми.

ММС сводится к МОС и математическая модель объекта принимается аналогичной изложенной выше.

Выбор вида модели динамического объекта для всех схем взаимодействия сводится к составлению дифференциальных уравнений. Если интересующие переменные являются функциями времени, то для моделирования используются обыкновенные дифференциальные уравнения. Если же эти переменные являются также функциями пространственных координат, то для описания таких объектов недостаточно обыкновенных и следует пользоваться более сложными дифференциальными уравнениями в частных произ­водных.

Физические задачи обычно приводят к одному из следующих видов \ уравнений:

1) дифференциальное уравнение в дифференциалах.

2) дифференциальное уравнение в производных.

3) простейшие интегральные уравнения с последующим преобразованием их в дифференциальные уравнения.

Уравнения в дифференциалах . Из условия задачи составляются приближенные соотношения между дифференциалами. Для этого малые приращения величин заменяются их дифференциалами, неравномерно протекающие процессы в течение малого промежутка времени dt рассматриваются как равномерные.

Уравнения в производных . Из условия задачи составляются прибли­женные соотношения между скоростями изменения функции и аргумента (dy/dt).

Простейшие интегральные уравнения . При рассмотрении работы сил, объемов тел, площадей криволинейных поверхностей их можно описать при помощи определенного интеграла или интегральных формул. В случае если при таком описании неизвестные функции попадают под знак интеграла, то получаемая формальная запись называется интегральным уравнением. Пос­ледующее дифференцирование интегрального уравнения преобразует его в дифференциальное.

Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее предварительным контролем по следующим видам контроля:

Контроль размерностей сводится к проверке выполнения правила, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности.

Контроль порядков направлен.на упрощение модели. При этом опреде­ляются порядки складываемых величин и явно малозначительные слагаемых отбрасываются.

Контроль характера зависимостей сводится к проверке направления и скорости изменения одних величин при изменении других. Направления и скорость должны соответствовать физическому смыслу задачи.

Контроль экстремальных ситуаций сводится к проверке наглядного смысла решения при приближении параметров модели к нулю или бесконеч­ности.

Контроль граничных условий состоит в том, что проверяется соот­ветствие математической модели граничным условиям, вытекающим из смыс­ла задачи. При этом проверяется, действительно ли граничные условия поставлены и учтены при построении искомой функции и что эта функция на самом деле удовлетворяет таким условиям.

Контроль математической замкнутости сводится к проверке того, что математическая модель дает однозначное решение.

Контроль физического смысла сводится к проверке физического со­держания промежуточных соотношений, используемых при построении мате­матической модели.

Контроль устойчивости модели состоит в проверке того, что варь­ирование исходных данных в рамках имеющихся данных о реальном объекте не приведет к существенному изменению решения.

Решение практических задач математическими методами последовательно осуществляется путем математической формулировки задачи (разработки математической модели), выбора метода проведения исследования полученной математической модели, анализа, полученных результатов.

Математическая формулировка задачи обычно представляется в виде чисел, геометрических образов, функций, систем уравнений и т.д.

Математическая модель представляет собой систему математических соотношений - формул, функций, уравнений, систем уравнений, описывающих те или иные стороны изучаемого объекта, явления, процесса.

На этапе выбора типа математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса.

Установление общих характеристик объекта позволяет выбрать математический аппарат, на базе которого строится математическая модель. Выбор математического аппарата может быть осуществлен в соответствии со схемой, представленной на рис. 1.2 .

Рис. 2. Математический аппарат для построения математической модели

Как видно из данной схемы, выбор математического аппарата не является однозначным и жестким.

Для описания сложных объектов с большим количеством параметров возможно разбиение объекта на элементы (подсистемы), установление иерархии элементов и описание связей между ними на различных уровнях иерархии.

Особое место на этапе выбора вида математической модели занимает описание преобразования входных сигналов в выходные характеристики объекта.

Если на предыдущем этапе было установлено, что объект является статическим, то построение функциональной модели осуществляется при помощи алгебраических уравнений. При этом кроме простейших алгебраических зависимостей используются регрессионные модели и системы алгебраических уравнений.

Если заранее известен характер изменения исследуемого показателя, то число возможных структур алгебраических моделей резко сокращается и предпочтение отдается той структуре, которая выражает наиболее общую закономерность или общеизвестный закон.

Если характер изменения исследуемого показателя заранее неизвестен, то ставится поисковый эксперимент. Предпочтение отдается той математической формуле, которая дает наилучшее совпадение с данными поискового эксперимента.

Результаты поискового эксперимента и априорный информационный массив позволяют установить схему взаимодействия объекта с внешней средой по соотношению входных и выходных величин.

В принципе возможно установление четырех схем взаимодействия:

одномерно-одномерная схема (рис. 1.3, а ) - на объект воздействует только один фактор, а его поведение рассматривается по одному показателю (один выходной сигнал);

одномерно-многомерная схема (рис. 1.3 б ) - на объект воздействует один фактор, а его поведение оценивается по нескольким показателям;

многомерно-одномерная схема (рис. 1.3, в ) - на объект воздействует несколько факторов, а его поведение оценивается по одному показателю;

многомерно-многомерная схема (рис. 1.3, г ) - на объект воздействует множество факторов и его поведение оценивается по множеству показателей.

математический модель синтез

Рис. 3. Схемы взаимодействия объекта с внешней средой

Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее предварительным контролем.

При этом осуществляются следующие виды контроля : размерностей; порядков; характера зависимостей; экстремальных ситуаций; граничных условий; математической замкнутости; физического смысла; устойчивости модели.

Контроль размерностей сводится к проверке выполнения правила, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности.

Контроль порядков направлен на упрощение модели. При этом определяются порядки складываемых величин и явно малозначительные слагаемые отбрасываются.

Контроль характера зависимостей сводится к проверке направления и скорости изменения одних величин при изменении других. Направления и скорость, вытекающие из математической модели, должны соответствовать физическому смыслу задачи.

Контроль экстремальных ситуаций сводится к проверке наглядного смысла решения при приближении параметров модели к нулю или бесконечности.

Контроль граничных условий состоит в том, что проверяется соответствие математической модели граничным условиям, вытекающим из смысла задачи. При этом проверяется, действительно ли граничные условия поставлены и учтены при построении искомой функции и что эта функция на самом деле удовлетворяет таким условиям.

Контроль математической замкнутости сводится к проверке того, что математическая модель дает однозначное решение.

Контроль физического смысла сводится к проверке физического содержания промежуточных соотношении, используемых при построении математической модели.

Контроль устойчивости модели состоит в проверке того, что варьирование исходных данных в рамках имеющихся данных о реальном объекте не приведет к существенному изменению решения.